Applications de la théorie de Galois différentielle aux équations différentielles linéaires d'ordre 4 - Thèses de l'Université Rennes 2 - Haute Bretagne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2004

Applications of differential Galois theory to linear differential equations of order 4

Applications de la théorie de Galois différentielle aux équations différentielles linéaires d'ordre 4

Résumé

For differential linear equations of order 2 and 3, algorithms for exact computation in realistic time exist, based on a preliminary accurate study of groups which may appear as differential Galois groups of these equations. Previous studies of order 4 dealed with particular points of the classification of the groups. In this thesis, we give give optimal bounds for the degree of the minimal polynom of logarithmic derivatives of liouvillian solutions of such equations (common work with D. Boucher and F. Ulmer) then this gives an algorithmic strategy in order to look for the differential Galois group of an equation by knowing its semi-invariants of degree 2 and 4, which has been obtained especially by studying the behaviour of the monomial subgroups of SL(4, C) (which hadn't been done before). We find then more effectively semi-invariants which are products of linear forms too. In chapter 4 of this thesis, we are interested in degree fall of the fourth symmetric power of an equation. More precisely, we show that an order 1 fall implies the existence of at least one semi-invariant for the equation, which gives informations about its group. In case of bigger fall, conditions of finiteness of the group are given by a theorem of M.F. Singer. In chapter 5, we deal with two examples. In the first, we use the algorithmic strategy of chapter 3 in order to find the differential Galois group of an equation whose liouvillian solutions can be computed thanks to a method developped by F. Ulmer. The second example is a concrete resolution of the inverse problem for SO(4, C) thanks to the method given by C. Mitschi and M.F. Singer (equation without liouvillian solutions). Explicit list of the semi-invariants of the monomial subgroups of SL(4, C) is given in annex.
Pour les équations différentielles ordinaires linéaires d'ordre 2 et 3, des algorithmes de résolution exacte avec des temps de calcul réalistes existent, se fondant sur une étude préalable précise des groupes de Galois différentiels potentiels de ces équations. Plusieurs études de l'ordre 4 ont déjà eu lieu mais ne concernaient qu'un aspect particulier de la classification des groupes. Dans cette thèse, on donne les bornes optimales pour le degré du polynôme minimal des dérivées logarithmiques des solutions liouvilliennes de telles équations (travail commun avec D. Boucher et F. Ulmer) puis on présente une stratégie algorithmique de recherche du groupe de Galois différentiel d'une équation en connaissant ses semiinvariants de degré 2 et 4, obtenue après avoir en particulier complété les travaux précédents par les cas imprimitif-monomial de la classification des groupes. On trouve alors plus efficacement des semi-invariants produits de formes linéeaires. Dans le chapitre 4 de cette thèse, on s'intérresse aux chutes d'ordre de la puissance symétrique quatrième d'une équation. Plus précisément, on montre qu'une chute d'ordre de un implique l'existence d'au moins un semi-invariant de degré 4, ce qui permet d'obtenir des informations sur le groupe de l'équation. En cas de chute d'ordre de deux et plus, des conditions de finitude du groupe sont données par un théorème de M.F. Singer. Dans le chapitre 5, on traite deux exemples. Dans le premier, on applique la stratégie algorithmique décrite dans le chapitre 3 en vue de trouver le groupe de Galois diff érentiel d'une équation dont on calcule ensuite les solutions (à l'aide d'une méthode décrite par F. Ulmer). Le second est un exemple de résolution du problème inverse pour le groupe SO(4, C) à l'aide de la méthode décrite par C. Mitschi et M.F. Singer (équation qui n'admet donc pas de solutions liouvilliennes). On trouvera en annexe la liste explicite des semiinvariants de degré 2 et 4 des sous-groupes monomiaux de SL(4, C).
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Dates et versions

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  • HAL Id : tel-00008234 , version 1

Citer

Philippe Gaillard. Applications de la théorie de Galois différentielle aux équations différentielles linéaires d'ordre 4. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00008234⟩
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